Question

【题目】已知曲线C：(α为参数)和定点A(0,)，F1，F2是此曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求直线AF2的极坐标方程；

(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M，N两点，求||MF1|－|NF1||的值．

Answer 1

【答案】（1）ρcosθ＋ρsinθ＝;（2）.

【解析】

（1）先将曲线C参数方程化为普通方程，求出F2点坐标，进而求出直线AF2的直角坐标方程，再化为极坐标方程；

（2）根据条件求出具有几何意义的直线l参数方程，代入曲线C的普通方程，运用韦达定理和直线参数的几何意义，即可求解.

(1)曲线C：可化为，

故曲线C为椭圆，则焦点F1(－1，0)，F2(1，0)．

所以经过点A(0，)和F2(1，0)的直线AF2的方程为

x＋＝1，即x＋y-＝0，

所以直线AF2的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝.

(2)由(1)知，直线AF2的斜率为-，因为l⊥AF2，

所以直线l的斜率为，即倾斜角为30°，

所以直线l的参数方程为(t为参数)，

代入椭圆C的方程中，得13t2－t－36＝0.

因为点M，N在点F1的两侧，

所以||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝.