Question

4．已知命题P：若幂函数f（x）=x^a过点（2，8）．实数t满足f（2-t）＞f（t-1），命题Q：实数t满足2^t-1＞1，P与Q有且仅有一个为真，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 根据幂函数的方程求出a的值，结合函数的单调性求出t的取值范围，根据复合命题真假关系建立不等式关系即可．

解答 解：若幂函数f（x）=x^a过点（2，8）．则f（2）=2^a=8，则a=3，则f（x）=x³，为增函数，
由f（2-t）＞f（t-1），得2-t＞t-1，得t＜$\frac{3}{2}$，即P：t＜$\frac{3}{2}$，
由2^t-1＞1得t-1＞0，则t＞1，即Q：t＞1，
∵P与Q有且仅有一个为真，
∴若P真Q假，则$\left\{\begin{array}{l}{t＜\frac{3}{2}}\\{t≤1}\end{array}\right.$得t≤1，
若P假Q真，则$\left\{\begin{array}{l}{t≥\frac{3}{2}}\\{t＞1}\end{array}\right.$，则t≥$\frac{3}{2}$，
综上实数a的取值范围是t≤1或t≥$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查复合命题的真假关系，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．