Question

将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别称为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：
（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；
（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；
（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．
写出直角三棱锥的相应性质（至少一条）：______．

Answer 1

由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，
一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维；
由题目中直角三角形以下性质：
（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半（边的性质），
我们可以推断三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一
（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方（边的性质）；
我们可以推断三棱锥中，三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方
（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1（边夹角的性质）．
我们可以推断三棱锥中，斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1．
故答案为：（1）斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一；
（2）三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方；
（3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1．