Question

15、从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
①能组成多少个没有重复数字的七位数？
②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？
③在①中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？
④在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？

Answer 1

分析：①分步完成：第一步计算在4个偶数中取3个的情况数目，第二步计算在5个奇数中取4个的情况数目，第三步将取出的7个数进行全排列，计算可得答案；
②由①的第一、二步，将3个偶数排在一起，有A₃³种情况，与4个奇数共5个元素全排列，计算可得答案；
③由①的第一、二步，将3个偶数排在一起，有A₃³种情况，4个奇数也排在一起有A₄⁴种情况，将奇数与偶数进行全排列计算可得答案；
④由①的第一、二步，可先把4个奇数取出并排好有C₅⁴A₄⁴种情况，再将3个偶数分别插入5个空档，有C₄³A₅³种情况，进而由乘法原理，计算可得答案．

解答：解：①分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C₄³种情况；
第二步在5个奇数中取4个，可C₅⁴有种情况；
第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A₇⁷种情况，
所以符合题意的七位数有C₄³C₅⁴A₇⁷=100800个；
②上述七位数中，将3个偶数排在一起，有A₃³种情况，
故三个偶数排在一起的有C₄³C₅⁴A₅⁵A₃³=14400种情况；
③上述七位数中，3个偶数排在一起有A₃³种情况，4个奇数也排在一起有A₄⁴种情况，
共有C₄³C₅⁵A₃³A₄⁴A₂²=5760个．
④上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，
再将3个偶数分别插入5个空档，共有C₅⁴A₄⁴C₄³A₅³=28800个．

点评：对于有限制条件的排列问题，常见方法是分步进行，先组合再排列，这是乘法原理的典型应用．