Question

已知正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示．设二面角A-DE-C的大小为90°．
（1）证明：BF∥平面ADE；
（2）若正方形ABCD的边长为2，求三棱锥A-CDE的体积．

Answer 1

分析：（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ADE内找到与直线BF平行的直线就可以了，易证四边形EBFD为平行四边形；
（2）利用题中直二面角得出直角三角形ADE斜边DE上的高即为三棱锥A-CDE的高，又可求出三棱锥A-CDE的底面三角形CDE的面积，根据棱锥的体积公式即可得出三棱锥A-CDE的体积．

解答：解：（1）证明：EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点，
∵EB∥FD，且EB=FD，
∴四边形EBFD为平行四边形．
∴BF∥ED
∵ED?平面AED，而BF?平面AED
∴BF∥平面ADE．
（2）∵二面角A-DE-C的大小为90°
∴直角三角形ADE斜边DE上的高即为三棱锥A-CDE的高，
而直角三角形ADE斜边DE上的高h=

AD•AE

DE

=

2×1

5

=

2 5

5

又三棱锥A-CDE的底面三角形CDE的面积为S=

1

2

×2×2=2，
∴三棱锥A-CDE的体积V=

1

3

Sh=

4 5

15

．

点评：本小题考查空间中的线面关系，棱柱、棱锥、棱台的体积，解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．