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【题目】已知函数f(x)=xe2x﹣lnx﹣ax.
(1)当a=0时,求函数f(x)在[ ,1]上的最小值;
(2)若x>0,不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范围;
(3)若x>0,不等式f( )﹣1≥ e + 恒成立,求a的取值范围.

【答案】
(1)解:a=0时,f(x)=xe2x﹣lnx,

∴函数f′(x)在(0,+∞)上是增函数,

又函数f′(x)的值域为R,

x0>0,使得f′(x0)=(2x0+1)e =0,

又∵ ,∴ ,所以当x∈[ ]时,f′(x)>0,

即函数f(x)在区间[ ,1]上递增,所以


(2)解:

由(1)知函数f′(x)在(0,+∞)上是增函数,且x0>0,使得f′(x0)=0,

进而函数f(x)在区间(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,

﹣lnx0﹣ax0

由f′(x0)=0,得:(2x0+1)e ﹣a=0,

,∴f(x0)=1﹣lnx0﹣2x02

x>0,不等式f(x)≥1恒成立,

∴1﹣lnx0﹣2x02e ≥1,∴lnx0+2x02 ≤0,

≤2+0=2.

∴a的取值范围是(﹣∞,2]


(3)解:由f( )﹣1≥

∴xlnx﹣x﹣a≥ ,∴a 对任意x>0成立,

令函数g(x)=xlnx﹣x﹣ ,∴

当x>1时,g′(x)>0,当0<x<1时,g′(x)<0,

∴当x=1时,函数g(x)取得最小值g(1)=﹣1﹣ =﹣1﹣

∴a≤﹣1﹣

∴a的取值范围是(﹣∞,﹣1﹣


【解析】(1.)a=0时, ,由此利用导数性质能求出函数f(x)在[ ,1]上的最小值. (2.) ,函数f(x)在区间(0,x0)上递减,在(x0 , +∞)上递增,由x>0,不等式f(x)≥1恒成立,得lnx0+2x02 ≤0,由此能求出a的取值范围.(3)由f( )﹣1≥ ,得a 对任意x>0成立,令函数g(x)=xlnx﹣x﹣ ,则 ,由此利用导数性质能求出a的取值范围.

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