【题目】已知函数f(x)=xe2x﹣lnx﹣ax.
(1)当a=0时,求函数f(x)在[ ,1]上的最小值;
(2)若x>0,不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范围;
(3)若x>0,不等式f( )﹣1≥ e + 恒成立,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:a=0时,f(x)=xe2x﹣lnx,
∴ , ,
∴函数f′(x)在(0,+∞)上是增函数,
又函数f′(x)的值域为R,
故x0>0,使得f′(x0)=(2x0+1)e ﹣ =0,
又∵ ,∴ ,所以当x∈[ ]时,f′(x)>0,
即函数f(x)在区间[ ,1]上递增,所以
(2)解: ,
由(1)知函数f′(x)在(0,+∞)上是增函数,且x0>0,使得f′(x0)=0,
进而函数f(x)在区间(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,
﹣lnx0﹣ax0,
由f′(x0)=0,得:(2x0+1)e ﹣ ﹣a=0,
∴ ,∴f(x0)=1﹣lnx0﹣2x02 ,
∵x>0,不等式f(x)≥1恒成立,
∴1﹣lnx0﹣2x02e ≥1,∴lnx0+2x02 ≤0,
∴ ≤2+0=2.
∴a的取值范围是(﹣∞,2]
(3)解:由f( )﹣1≥ ,
得 ,
∴xlnx﹣x﹣a≥ ,∴a 对任意x>0成立,
令函数g(x)=xlnx﹣x﹣ ,∴ ,
当x>1时,g′(x)>0,当0<x<1时,g′(x)<0,
∴当x=1时,函数g(x)取得最小值g(1)=﹣1﹣ =﹣1﹣ ,
∴a≤﹣1﹣ .
∴a的取值范围是(﹣∞,﹣1﹣ )
【解析】(1.)a=0时, , ,由此利用导数性质能求出函数f(x)在[ ,1]上的最小值. (2.) ,函数f(x)在区间(0,x0)上递减,在(x0 , +∞)上递增,由x>0,不等式f(x)≥1恒成立,得lnx0+2x02 ≤0,由此能求出a的取值范围.(3)由f( )﹣1≥ ,得a 对任意x>0成立,令函数g(x)=xlnx﹣x﹣ ,则 ,由此利用导数性质能求出a的取值范围.
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【题目】设函数 ,则下列结论正确的是( )
①f(x)的图象关于直线 对称
②f(x)的图象关于点 对称
③f(x)的图象向左平移 个单位,得到一个偶函数的图象
④f(x)的最小正周期为π,且在 上为增函数.
A.③
B.①③
C.②④
D.①③④
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【题目】已知函数f(x)=|x+m|+|2x﹣1|(m∈R) (I)当m=﹣1时,求不等式f(x)≤2的解集;
(II)设关于x的不等式f(x)≤|2x+1|的解集为A,且[ ,2]A,求实数m的取值范围.
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【题目】已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3 , S9 , S6成等差数列. (Ⅰ)求证:a2 , a8 , a5成等差数列;
(Ⅱ)若等差数列{bn}满足b1=a2=1,b3=a5 , 求数列{an3bn}的前n项和Tn .
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【题目】给出以下四个结论: ①函数 的对称中心是(﹣1,2);
②若关于x的方程 没有实数根,则k的取值范围是k≥2;
③在△ABC中,“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的充分不必要条件;
④若 的图象向右平移φ(φ>0)个单位后为奇函数,则φ最小值是 .
其中正确的结论是 .
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【题目】知函数f(x)=ax2﹣2x+lnx(a≠0,a∈R).
(1)判断函数 f (x)的单调性;
(2)若函数 f (x)有两个极值点x1 , x2 , 求证:f(x1)+f(x2)<﹣3.
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