Question

（2012•松江区三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点P（x，y）（其中x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，直线l与曲线C相交于不同的A，B两点．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若直线l经过点F（1，0），求

OA

•

OB

的值；
（3）若

OA

•

OB

=-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

Answer 1

分析：（1）依题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于P到直线x=-1的距离，曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线，由此可求曲线C方程；
（2）当l平行于y轴时，其方程为x=1，此时

OA

•

OB

=1-4=-3；当l不平行于y轴时，设l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量的数量积，可得

OA

•

OB

的值；
（3）设l：x=ty+b代入抛物线y²=4x消去x，得y²-4ty-4b=0，利用韦达定理及

OA

•

OB

=-4，可得b的值，从而可得结论．

解答：解：（1）依题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于P到直线x=-1的距离，
∴曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线          
∵

p

2

=1，∴p=2
∴曲线C方程是y²=4x
（2）当l平行于y轴时，其方程为x=1，由

x=1 y2=4x

解得A（1，2）、B（1，-2）
此时

OA

•

OB

=1-4=-3
当l不平行于y轴时，设其斜率为k，则由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁x₂=1，x1+x2=

2k2+4

k2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k(x1-1)k(x2-1)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2=1+k2-k2•

2k2+4

k2

+k2=1-4=-3
（3）设l：x=ty+b代入抛物线y²=4x消去x，得y²-4ty-4b=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b．  
∵

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b．   
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0，∴b=2，
∴直线l过定点（2，0）．

点评：本题考查抛物线的定义，考查向量的数量积，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是确定抛物线的方程，联立方程，利用韦达定理求解．