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12.已知函数f(x)=x3+3x对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x∈(-2,$\frac{2}{3}$).

分析 先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性,再由导数判断出函数的单调性,利用奇偶性将不等式进行转化,再利用单调性去掉不等式中的符号“f”,转化具体不等式,借助一次函数的性质可得x的不等式组,解出可得答案.

解答 解:由题意得,函数的定义域是R,
且f(-x)=(-x)3+3(-x)=-(x3+3x)=-f(x),
所以f(x)是奇函数,
又f'(x)=3x2+3>0,所以f(x)在R上单调递增,
所以f(mx-2)+f(x)<0可化为:f(mx-2)<-f(x)=f(-x),
由f(x)递增知:mx-2<-x,即mx+x-2<0,
则对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,
等价于对任意的m∈[-2,2],mx+x-2<0恒成立,
所以 $\left\{\begin{array}{l}{-2x+x-2<0}\\{2x+x-2<0}\end{array}\right.$,解得-2<x<$\frac{2}{3}$,
即x的取值范围是(-2,$\frac{2}{3}$),
故答案为:(-2,$\frac{2}{3}$).

点评 本题考查恒成立问题,函数的奇偶性与单调性的综合应用,考查转化思想,以及学生灵活运用知识解决问题的能力.

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