Question

已知圆C：x²+y²-4x+6y+4=0．
（1）将圆C的方程化为标准方程并指出圆心C的坐标以及半径的大小；
（2）过点P（-1，1）引圆C的切线，切点为A，求切线长|PA|；
（3）求过点P（-1，1）的圆C的切线方程．

Answer 1

分析：（1）利用配方法把圆C方程的左边变形后，将圆C的方程化为标准方程，从标准方程中即可得到圆心C的坐标和圆的半径；
（2）由P和C的坐标，利用两点间的距离公式求出|PC|的长，得到|PC|小于半径r，即P在圆外，根据切线的性质及勾股定理，由|PC|及r的值，即可求出切线长|PA|的长；
（3）分两种情况考虑：当满足题意的切线方程的斜率不存在时，显然x=-1满足题意；当斜率存在时，设切线方程的斜率为k，由P的坐标和k表示出切线的方程，根据圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，确定出此时切线的方程，综上，得到所有满足题意的切线方程．

解答：解：（1）将圆C化为标准方程得：（x-2）²+（y+3）²=9，
∴圆心C（2，-3），半径r=3；
（2）∵|PC|=

(2+1)2+(-3-1)2

=5＞3=r，
∴P在圆C外，
则|PA|=

|PC|2-r2

=4；
（3）当过P的圆C的切线方程的斜率不存在时，显然x=-1满足题意；
当斜率存在时，设切线的斜率为k，
∴切线方程为y-1=k（x+1），即kx-y+k+1=0，
∴圆心C到切线的距离d=r，即

|3k+4|

k2+1

=3，
解得：k=-

7

24

，
此时切线方程为：-

7

24

x-y-

17

24

=0，即7x+24y-17=0，
综上，满足题意的切线方程为x=-1或7x+24y-17=0、

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，切线的性质，勾股定理，以及直线的点斜式方程，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的题．