Question

等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁₀=30，a₂₀=50．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若S_n=210，求n；
（3）令bn=2an-10，求证：数列{b_n}为等比数列．

Answer 1

分析：（1）由等差数列的通项公式a_n=a₁+（n-1）d，可得

a1+9d=30 a1+19d=50

，从而可求
（2）由等差数列的前n项和公式可得，12n+

n(n-1)

2

×2=210，解方程可求n
（3）由（1）得b_n=4ⁿ，要证明{b_n}是等比数列，只要证出

bn

bn-1

=q(q为不等0的常数)

解答：解：（1）由a_n=a₁+（n-1）d，a₁₀=30，a₂₀=50，得方程组

a1+9d=30 a1+19d=50

，…（2分）
解得a₁=12，d=2．…（4分）
∴a_n=12+（n-1）•2=2n+10．…（5分）
（2）由Sn=na1+

n(n-1)

2

d，Sn=210…（7分）
得方程12n+

n(n-1)

2

×2=210…（8分）
解得n=10或n=-21（舍去）　…（10分）
（3）由（1）得bn=2an-10=22n+10-10=22n=4n，…（11分）
∴

bn+1

bn

=

4n+1

4n

=4
∴{b_n}是首项是4，公比q=4的等比数列．…（12分）

点评：本题主要考查了利用等差数列的基本量首项a₁，公差d表示等差数列的通项公式及前n项和的求解，而定义法是证明等差（等比）数列的最常用的方法．