Question

已知曲线C：

y2

m

+x²=1；
（1）由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，点P在

EF

上，且 

EP

=-

1

3

PF

．问：点P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；
（2）如果直线l的斜率为

2

，且过点M（0，-2），直线l交曲线C于A，B两点，又

MA

•

MB

=-

9

2

，求曲线C的方程．

Answer 1

分析：（1）由于 

EP

=-

1

3

PF

而点E在曲线C上F点也易求故可用点P的坐标表示E点的坐标再将E点的坐标代入曲线C的方程化简整理再讨论即可．
（2）根据题中的条件易求直线L的方程：y=

2

x-2而求曲线C的方程即求m故需利用题中条件

MA

•

MB

=-

9

2

这需用点M，A，B的坐标求出

MA

，

MB

故须设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）即可求出

MA

•

MB

=x1x2+(y1+2)(y2+2)=3x₁x₂故需直线方程y=

2

x-2与曲线C：

y2

m

+x²=1联立求出x₁x₂代入求出m即可得解．

解答：解：（1）设E（x₀，y₀），P（x，y）则F（x₀，0）
∵

EP

=-

1

3

PF

∴(x-x0，y-y0)=-

1

3

(x0-x，-y)
∴

x0=x y0= 2 3 y

代入

y02

m

+x02=1中，得

4y2

9m

+x2=1为P点轨迹方程．
    当m=

4

9

时轨迹是圆．
（2）由题设知直线的方程为y=

2

x-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）联立方程组可得

y= 2 x-2 y2 m +x2=1

     消去y得：（m+2）x²-4

2

x+4-m=0
∵方程有两解
∴m+2≠0且△＞0
∴m＞0或m＜0且m≠-2
∵

MA

=(x1， y1)，

MB

=(x2，y2+2)而

MA

•

MB

=x1x2+(y1+2)(y2+2)=3x₁x₂
∵x1x2=

4-m

m+2

且

MA

•

MB

=-

9

2

∴

4-m

m+2

= -

3

2

∴m=-14∴曲线C的方程是x2-

y2

14

= 1

点评：本题考查了向量与圆锥曲线的综合．第一问着重考查了利用向量相等和相关点法求动点的轨迹方程这是求轨迹方程中经常用到的一种方法．第二问着重考查了利用向量的数量积的坐标计算及方程联立后利用根与系数的关系求参数m的值，求解此问的关键是求出的m的值须使联立方程后的方程：（m+2）x²-4

2

x+4-m=0有两个不相等的实根即需在m＞0或m＜0且m≠-2的范围内！