Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， ， ， 与均为等边三角形，点为的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）试问在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）点为的中点

【解析】试题分析：（1）连接，根据题设条件可证四边形为正方形，即可得，设与相交于点，根据△与△均为等边三角形可证，即可证，从而证明平面平面；（2）由题设条件及（1）可知，建立以点为坐标原点， 为轴， 为轴， 为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，结合二面角的余弦值为，即可求出点的位置.

试题解析：（1）证明：连接，由于∥，点为的中点， ，

∴四边形为正方形，可得

设与相交于点

又∵△与△均为等边三角形

∴

在等腰△中，点为的中点

∴，且与相交于点，可得平面

又∵平面

∴平面平面．

（2）由，△与△均为等边三角形，四边形为正方形， 与相交于点，可知， ，所以，又平面平面，所以平面，以点为坐标原点， 为轴， 为轴， 为轴建立空间直角坐标系．

可得， ， ，

设点的坐标为， ，由， ，可得，故 ，

设为平面的一个法向量，则

，得，平面的一个法向量为，

由已知 ，解得

所以，在线段上存在点，使二面角的余弦值为，且点为的中点．