精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
10.设椭圆C:mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),直线l:y=x+1与椭圆C交于P,Q两点
(1)设坐标原点为O,当OP⊥OQ时,求m+n的值;
(2)对(1)中的m和n,当|PQ|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$时,求椭圆C的方程.

分析 (1)设点P(x1,y1)、Q(x2,y2),直线方程与椭圆方程联立化为(m+n)x2+2nx+n-1=0.由OP⊥OQ,可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,把根与系数的关系代入即可得出.
(2)|PQ|=$\sqrt{2[({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[\frac{4{n}^{2}}{(m+n)^{2}}-\frac{4(n-1)}{m+n}]}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,把m+n=2代入整理为4n2-8n+3=0,解出即可得出.

解答 解:(1)依题意,设点P(x1,y1)、Q(x2,y2),联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{m{x}^{2}+n{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,
化为(m+n)x2+2nx+n-1=0,∴x1+x2=$\frac{-2n}{m+n}$,x1x2=$\frac{n-1}{m+n}$.
由OP⊥OQ,∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x1x2+y1y2=0,
∴x1x2+(x1+1)(x2+1)=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,
∴$\frac{2(n-1)}{m+n}$-$\frac{2n}{m+n}$+1=0,化为m+n=2.
(2)|PQ|=$\sqrt{2[({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[\frac{4{n}^{2}}{(m+n)^{2}}-\frac{4(n-1)}{m+n}]}$,
把m+n=2代入整理为4n2-8n+3=0,解得$n=\frac{1}{2}$,m=$\frac{3}{2}$,或m=$\frac{1}{2}$,n=$\frac{3}{2}$.
∴椭圆C的标准方程为:$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{3{y}^{2}}{2}$=1,或$\frac{3{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1.

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

20.已知函数f(x)=$\frac{{{2^{x+1}}+1}}{{{2^x}+1}}$-xcosx(-π≤x≤π)的最大值M与最小值m的关系是(  )
A.M+m=4B.M+m=3C.M-m=4D.M-m=3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

1.一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是边AB上的动点,记四面体E-FMC的体积为V1,多面体ADF-BCE的体积为V2,则$\frac{V_1}{V_2}$=(  )
A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$D.不是定值,随点M的变化而变化

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

18.P2P金融又叫P2P信贷,是互联网金融(1TF1N)的一种,某P2P平台需要了解该平台“理财者”的年龄情况,工作人员从该平台“理财者”中随机抽取n人进行调查,将调查数据整理成如表统计表和如图频率分布直方图.
 组数 分组 频数
 第一组[20,25) 2
 第二组[25,30) a
 第三组[30,35) b
 第四组[35,40) c
 第五组[40,45) d
 第六组[45,50] e
(Ⅰ)求a,b,c,d,e的值;
(Ⅱ)补全频率分布直方图;
(Ⅲ)从[20,30)岁年龄段的“理财者”中随机抽取2人,求这2人都来自于[25,30)岁年龄段的频率.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

5.设函数f(x)=xn-mlnx-1,其中n∈N*,n≥2,m≠0.
(1)当n=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当m=1时,讨论函数f(x)的零点情况.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

15.函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x},x∈[0,1)}\\{4-2x,x∈[1,2]}\end{array}\right.$,若x0∈[0,1),且f[f(x0)]∈[0,1),则x0的取值范围是(  )
A.(log2$\frac{3}{2}$,1)B.(log2$\frac{2}{3}$,1)C.($\frac{2}{3}$,1)D.[0,$\frac{3}{4}$]

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

6.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其它四个侧面都是侧棱长为$\sqrt{5}$的等腰三角形.
(Ⅰ)求二面角P-AB-C的大小;
(Ⅱ)在线段AB上是否存在一点E,使平面PCE⊥平面PCD?若存在,请指出点E的位置并证明,若不存在请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

3.如图随时,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,OC⊥AD.过点B作⊙O的切线PB交AD的延长线于点P,连接BC交AD于点E.
(1)求证:PE2=PD•PA;
(2)若AB=PB,求△CDE与△ABE面积之比.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

4.已知AB为⊙O的直径,PH为切线,PE与⊙O交于C、E两点,且与直径AB交于点D,若PH=3$\sqrt{6}$,PC=3$\sqrt{2}$,DE=2$\sqrt{2}$,DB=2.
(1)求圆O的面积;
(2)试求线段BE的长.

查看答案和解析>>

同步练习册答案