Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁为菱形，∠A₁AB=60°，四边形BCC₁B₁为矩形，若AB⊥BC，求证：平面A₁CB⊥平面ACB₁．

Answer 1

解：∵AB⊥BC，BC⊥B₁B，AB∩B₁B=B
∴BC⊥面AB₁，而AB₁?面AB₁，
∴AB₁⊥CB；
根据四边形A₁ABB₁为菱形，则AB₁⊥A₁B
∴AB₁⊥平面A₁CB，而AB₁?平面ACB₁，
∴平面A₁CB⊥平面ACB₁．
分析：欲证平面A₁CB⊥平面ACB₁，根据面面垂直的判定定理可知在平面ACB₁内一直线与平面A₁CB垂直，而AB⊥BC，BC⊥B₁B，AB∩B₁B=B，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥面AB₁，而AB₁?面AB₁，则AB₁⊥CB，AB₁⊥A₁B，则AB₁⊥平面A₁CB，而AB₁?平面ACB₁，满足定理所需条件．
点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，应熟练记忆平面与平面垂直的判定定理，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力．