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    精英家教网如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．
    （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
    （2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积；
    （3）若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．
    分析：（1）如图，由题设令AN=x米，然后用x表示出边长AM=
    3x
    x-2
    ，由题意得出
    3x
    x-2
    ×x＞32    ，从中求出x的范围，即为AN的取值范围．
    （2）矩形的面积可以表示为SAMPN=
    3x2
    x-2
    =
    3(x-2)2+12(x-2)+12
    x-2
    ，化简后用基本不等式求出最小值．
    （3）由（2）的求解知，当AN的长度不少于6米时，基本不等式取到最小值时等号成立的条件不足备，故不宜用基本不等式求矩形AMPN的面积最小值，可以用函数的单调性求面积的最小值．
    解答：解：（1）设AN=x米，（x＞2），则ND=x-2
    ∵
    ND
    DC
    =
    AN
    AM

    ∴
    x-2
    3
    =
    x
    AM

    ∴AM=
    3x
    x-2
    （2分）
    ∴
    3x
    x-2
    ×x＞32
    ∴3x2-32x+64＞0（4分）
    ∴（3x-8）（x-8）＞0
    ∴2＜x＜
    8
    3
    或x＞8（5分）
    （2）SAMPN=
    3x2
    x-2
    =
    3(x-2)2+12(x-2)+12
    x-2
    （7分）
    =
    3(x-2)2+12(x-2)+12
    x-2
    =3(x-2)+
    12
    x-2
    +12
    ≥2
    		36
    +12=24
    此时x=4（10分）
    （3）∵SAMPN=3(x-2)+
    12
    x-2
    +12    （x≥6）
    令x-2=t（t≥4），f(t)=3t+
    12
    t
    +12    （11分）
    ∵f′(t)=3-
    12
    t2

    当t≥4时，f'（t）＞0
    ∴f(t)=3t+
    12
    t
    +12    在[4，+∞）上递增（13分）
    ∴f（t）min=f（4）=27
    此时x=6．（14分）
    答：（1）2＜AN＜
    8
    3
    或AN＞8
    （2）当AN的长度是4米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为24平方米；
    （3）当AN的长度是6米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为27平方米．（15分）
    点评：本题是个应用题，第一问要求根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；第二问考查了基本不等式求最值；第三问问题更深一层，重点考查基本不等式等号成立的条件不足备时，怎么来求相应解析式的最小值，本题考查全面，是少见的知识性与技能性都较强的题．
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