已知函数f(x)=x2(ax+b),(a,b∈R)在x=2时有极值,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行.
(1)求a、b的值和函数f(x)的单调区间;
(2)若当x∈[1,4]时,方程f(x)-t=0恰有一实根,试确定t的取值范围.
解:(1)因为函数f(x)=x
2(ax+b)在x=2处取得极值,
所以 f'(2)=12a+4b=0①,
由图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行,
则 f'(1)=3a+2b=-3②,
联立①②解得 a=1,b=-3,
代入f(x),得 f(x)=x
3-3x
2,此函数的定义域为(-∞,∞),
f'(x)=3x
2-6x,
令f'(x)>0,得x<0或x>2,令f′(x)<0,得0<x<2,
所以函数f(x)在区间(-∞,0]和[2,∞)上是单调递增的;在区间(0,2)上是单调递减的;
(2)由(1)知:f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,4]上单调递增,
当x=2时f(x)取得极小值,也即最小值为f(2)=8-12=-4,f(1)=1-3=-2,f(4)=64-48=16.
作出y=f(x)(1≤x≤4)的草图如下图所示:
方程f(x)-t=0恰有一实根,即y=f(x)与y=t的图象只有一个交点,
由图象知:-2<t≤16或t=-4.
故实数t的取值范围为:-2<t≤16或t=-4.
分析:(1)由f(x)在x=2处有极值,得 f'(2)=0,由图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行,得f'(1)=-3,联立方程组解出即可;
(2)借助(1)问结论作出f(x)在[1,4]上的草图,则方程f(x)-t=0恰有一实根即为y=f(x)与y=t的图象只有一个交点,由图象即可求得范围.
点评:本题考查利用导数研究函数的极值、单调性及方程根的个数问题,考查数形结合思想,考查学生分析解决问题的能力,属中档题.