【题目】【2016年高考四川理数】设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a ∈R.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)确定a的所有可能取值,使得在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).
【答案】(Ⅰ)当时,<0,单调递减;当时,>0,单调递增;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)对求导,对进行讨论,研究的正负,可判断函数的单调性;(Ⅱ)要证明不等式在上恒成立,基本方法是设,当时,,的解不易确定,因此结合(Ⅰ)的结论,缩小的范围,设=,并设=,通过研究的单调性得时,,从而,这样得出不合题意,又时,的极小值点,且,也不合题意,从而,此时考虑得,得此时单调递增,从而有,得出结论.
试题解析:(I)
<0,在内单调递减.
由=0,有.
此时,当时,<0,单调递减;
当时,>0,单调递增.
(II)令=,=.
则=.
而当时,>0,
所以在区间内单调递增.
又由=0,有>0,
从而当时,>0.
当,时,=.
故当>在区间内恒成立时,必有.
当时,>1.
由(I)有,从而,
所以此时>在区间内不恒成立.
当时,令,
当时,,
因此,在区间单调递增.
又因为,所以当时, ,即 恒成立.
综上,.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)若f(1)=0,求函数f(x)的最大值;
(Ⅱ)令,讨论函数g(x)的单调区间;
(Ⅲ)若a=2,正实数x1,x2满足证明
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【题目】如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯
形, , , .且与均为正三角形, 为的中点,
为重心.
(1)求证: 平面;
(2)求异面直线与的夹角的余弦值.
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【题目】【2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研考试(一模)数学理】已知函数为自然对数的底数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)关于的不等式在上恒成立,求实数的值;
(3)关于的方程有两个实根,求证:.
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【题目】【2017届陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟考试数学(理)】已知函数,其中常数.
(Ⅰ)讨论在上的单调性;
(Ⅱ)当时,若曲线上总存在相异两点,使曲线在两点处的切线互相平行,试求的取值范围.
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【题目】关于函数有下列命题:
①函数的图象关于轴对称;
②在区间上,函数是减函数;
③在区间上,函数是增函数;
④函数的值域是 .其中正确命题序号为____.
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