Question

【题目】已知椭圆：的短轴端点为，，点是椭圆上的动点，且不与，重合，点满足，.

（Ⅰ）求动点的轨迹方程；

（Ⅱ）求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）设，，结合垂直关系设出两直线的方程，相乘即可得到动点的轨迹方程；

（Ⅱ）利用根与系数的关系表示四边形面积，转求函数最值即可.

（Ⅰ）法一：设，，

直线

直线

得

又，

，

整理得点的轨迹方程为

法二：设，，

直线

直线

由,解得：，又，

故，代入得.

点的轨迹方程为

法三：设直线，则直线

直线与椭圆的交点的坐标为.

则直线的斜率为.

直线

由 解得:点的轨迹方程为：

（Ⅱ）法一：设，由（Ⅰ）法二得：

四边形的面积，

，当时，的最大值为.

法二：由（Ⅰ）法三得：四边形的面积

当且仅当时，取得最大值.