Question

【题目】某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：

B餐厅分数频数分布表
分数区间	频数
[0，10）	2
[10，20）	3
[20，30）	5
[30，40）	15
[40，50）	40
[50，60]	35

定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：

分数	[0，30）	[30，50）	[50，60]
满意度指数	0	1	2

（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；
（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；
（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由对A餐厅评分的频率分布直方图，得

对A餐厅“满意度指数”为0的频率为（0.003+0.005+0.012）×10=0.2，

所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为100×0.2=20．

（Ⅱ）设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C．

记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件A1；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件A2；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件B0；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件B1．

所以P（A1）=（0.02+0.02）×10=0.4，P（A2）=0.4，

由用频率估计概率得： ， ．

因为事件Ai与Bj相互独立，其中i=1，2，j=0，1．

所以P（C）=P（A1B0+A2B0+A2B1）

=0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55=0.3．

所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高

的概率为0.3．

（Ⅲ）如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：

A餐厅“满意度指数”X的分布列为：

X	0	1	2
P	0.2	0.4	0.4

B餐厅“满意度指数”Y的分布列为：

Y	0	1	2
P	0.1	0.55	0.35

因为EX=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；

EY=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，

所以EX＜EY，会选择B餐厅用餐

【解析】（Ⅰ）由对A餐厅评分的频率分布直方图，求解对A餐厅“满意度指数”为0的频率．然后求解对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数．（Ⅱ）设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C．记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件A1；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件A2；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件B0；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件B1．求出概率，利用独立重复概率乘法公式求解即可．（Ⅲ）从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：得到分布列，求出期望，即可推出结果．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．