Question

【题目】如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A,C,D），P是圆Q上及其内部的动点，设，则的取值范围是_____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

建立如图所示平面直角坐标系，可得,＝（ 4，0），.由图可知，当动圆Q的圆心经过点D时，P.此时m+n取得最大值：4m+4n＝8+，可得m+n＝2+ ．当动圆Q的圆心为点C或点A时，利用三角函数求m+n的最小值．

解：如图所示，边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A，C，D），P是圆Q上及内部的动点，

向量 （m，n为实数），

=（0，4），＝（ 4，0），可得 ＝（ 4m，4n）．

当动圆Q的圆心经过点D时，如图：P.

此时m+n取得最大值：4m+4n＝8+ ，可得m+n＝2+ ．

当动圆Q的圆心为点C时，BP与⊙C相切且点P在x轴的下方时，＝（4+cosθ，sinθ），

此时，4m+4n＝4﹣ sin（θ+ ），

m+n取得最小值为：1﹣，此时P（ 4﹣ ，﹣）．

同理可得，当动圆Q的圆心为点A时，BP与⊙A相切且点P在y轴的左方时，

m+n取得最小值为：1﹣，此时P（-，4﹣）．

∴则m+n的取值范围为

故答案为.