Question

12．已知a＞0，且a-a^-1=3，求值：
（1）a²+a^-2；
（2）$\frac{（{a}^{3}+{a}^{-3}）（{a}^{2}+{a}^{-2}-3）}{{a}^{4}-{a}^{-4}}$．

Answer 1

分析 （1）由a＞0，且a-a^-1=3，可得a²+a^-2=（a-a^-1）²+2．
（2）原式=$\frac{（a+{a}^{-1}）（{a}^{2}-1+{a}^{-2}）（{a}^{2}+{a}^{-2}-3）}{（{a}^{2}+{a}^{-2}）（a+{a}^{-1}）（a-{a}^{-1}）}$=$\frac{（{a}^{2}-1+{a}^{-2}）（{a}^{2}+{a}^{-2}-3）}{（{a}^{2}+{a}^{-2}）（a-{a}^{-1}）}$．

解答 解：（1）∵a＞0，且a-a^-1=3，
∴a²+a^-2=（a-a^-1）²+2=11．
（2）原式=$\frac{（a+{a}^{-1}）（{a}^{2}-1+{a}^{-2}）（{a}^{2}+{a}^{-2}-3）}{（{a}^{2}+{a}^{-2}）（a+{a}^{-1}）（a-{a}^{-1}）}$
=$\frac{（{a}^{2}-1+{a}^{-2}）（{a}^{2}+{a}^{-2}-3）}{（{a}^{2}+{a}^{-2}）（a-{a}^{-1}）}$
=$\frac{（11-1）×（11-3）}{11×3}$
=$\frac{80}{33}$．

点评 本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．