Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}，a₁＝1，且a₂，a₄－2，a₆成等比数列．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)已知数列{b_n}的通项公式是b_n＝2^n－1，集合A＝{a₁，a₂，…，a_n，…}，B＝{b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}．将集合A∩B中的元素按从小到大的顺序排成一个新的数列{c_n}，求数列{c_n}的前n项和S_n.

Answer 1

（1）a_n＝3n－2.（2）

(1)设等差数列{a_n}的公差为d.
由题意(a₄－2)²＝a₂a₆得(3d－1)²＝(1＋d)(1＋5d)．
解得d＝3或者d＝0.因为公差d不为0，所以d＝3.
故a_n＝3n－2.
(2)由题意知数列{c_n}是数列{a_n}与数列{b_n}的公共项，令2^n－1＝3m－2，
则2ⁿ＝2·2^n－1＝6m－4＝3(2m－1)－1不是数列{c_n}的项，2^n＋1＝2^n－1·2²＝12m－8＝3(4m－2)－2是数列{c_n}的项．
所以{c_n}是以a₁＝b₁＝1为首项，4为公比的等比数列，即
c_n＝4^n－1，
故S_n＝.