Question

（2012•浙江）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，

1

2

）到抛物线C：y²=2px（P＞0）的准线的距离为

5

4

．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．
（1）求p，t的值．
（2）求△ABP面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）通过点P（1，

1

2

）到抛物线C：y²=2px（P＞0）的准线的距离为

5

4

．列出方程，求出p，t的值即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为Q（m，m），设直线AB的斜率为k，（k≠0），利用

y12=x1 y22=x2

推出AB的方程y-m=

1

2m

(x-m)．利用弦长公式求出|AB|，设点P到直线AB的距离为d，利用点到直线的距离公式求出d，设△ABP的面积为S，求出S=

1

2

|AB|•d=|1-2（m-m²）|•

m-m2

．利用函数的导数求出△ABP面积的最大值．

解答：解：（1）由题意可知

2pt=1 1+ p 2 = 5 4

得，

p= 1 2 t=1

．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为Q（m，m），
由题意可知，设直线AB的斜率为k，（k≠0），
由

y12=x1 y22=x2

得，（y₁-y₂）（y₁+y₂）=x₁-x₂，
故k•2m=1，
所以直线AB方程为y-m=

1

2m

(x-m)．
即△=4m-4m²＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=2m²-m．
从而|AB|=

1+ 1 k2

•|y1-y2|=

1+4m2

•

4m-4m2

，
设点P到直线AB的距离为d，则
d=

|1-2m+2m2|

1+4m2

，
设△ABP的面积为S，则
S=

1

2

|AB|•d=|1-2（m-m²）|•

m-m2

．
由△=

m-m2

＞0，得0＜m＜1，
令u=

m-m2

，0＜u＜

1

2

，则S=u（1-2u²），0＜u＜

1

2

，
则S′（u）=1-6u²，S′（u）=0，得u=

6

6

∈(0，

1

2

)，
所以S_最大值=S（

6

6

）=

6

9

．
故△ABP面积的最大值为

6

9

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的简单性质，函数与导数的应用，函数的最大值的求法，考查分析问题解决问题的能力．