Question

【题目】已知O为坐标原点，P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，记直线OP的斜率k=f（x）． （Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+ ）（m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≥ 恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 由题意知， ， 所以
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
故f（x）在x=1处取得极大值．
∵函数f（x）在区间 上存在极值．
∴ 得 ，即实数m的取值范围是 ．
（Ⅱ） 由题意 得 ，
令 ，则 ，
令h（x）=x﹣lnx，（x≥1），则 ，
∵x≥1∴h′（x）≥0，
故h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0从而g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（1）=2，
∴实数t的取值范围是（﹣∞，2]
【解析】（1）先根据斜率公式求f（x），再由极值确定m的取值范围，（Ⅱ）恒成立问题通常转化为最值问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．