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20.在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2$\sqrt{2}$,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)异面直线PD与AC所成的角.

分析 (1)推导出AB⊥AD,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系利用向量法能证明BD⊥平面PAC.
(2)求出$\overrightarrow{PD}$=(0,2$\sqrt{2}$,-4),$\overrightarrow{AC}$=((2,2$\sqrt{2}$,0),利用向量法能求出异面直线PD与AC所成的角的余弦值.

解答 证明:(1)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥AD,
所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,…(2分)
则B(4,0,0),P(0,0,4),$D(0,2\sqrt{2},0)$,$C(2,2\sqrt{2},0)$.
所以 $\overrightarrow{BD}=(-4,2\sqrt{2},0)$,$\overrightarrow{AC}=(2,2\sqrt{2},0)$,$\overrightarrow{AP}=(0,0,4)$,…(4分)
所以$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=(-4)×2+2\sqrt{2}×2\sqrt{2}+0×0=0$,$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AP}=(-4)×0+2\sqrt{2}×0+0×4=0$.
所以 BD⊥AC,BD⊥AP.
因为 AP∩AC=A,AC?平面PAC,PA?平面PAC,
所以 BD⊥平面PAC.…(6分)
解:(2)$\overrightarrow{PD}$=(0,2$\sqrt{2}$,-4),$\overrightarrow{AC}$=((2,2$\sqrt{2}$,0),
设异面直线PD与AC所成的角为θ,
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{8}{\sqrt{24}•\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$,
∴异面直线PD与AC所成的角的余弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$…(12分)

点评 本题考查线面垂直的证明,考查异面直线所成角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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