Question

20．在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2$\sqrt{2}$，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）异面直线PD与AC所成的角．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥AD，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系利用向量法能证明BD⊥平面PAC．
（2）求出$\overrightarrow{PD}$=（0，2$\sqrt{2}$，-4），$\overrightarrow{AC}$=（（2，2$\sqrt{2}$，0），利用向量法能求出异面直线PD与AC所成的角的余弦值．

解答 证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥AD，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，…（2分）
则B（4，0，0），P（0，0，4），$D（0，2\sqrt{2}，0）$，$C（2，2\sqrt{2}，0）$．
所以 $\overrightarrow{BD}=（-4，2\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{AC}=（2，2\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{AP}=（0，0，4）$，…（4分）
所以$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=（-4）×2+2\sqrt{2}×2\sqrt{2}+0×0=0$，$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AP}=（-4）×0+2\sqrt{2}×0+0×4=0$．
所以 BD⊥AC，BD⊥AP．
因为 AP∩AC=A，AC?平面PAC，PA?平面PAC，
所以 BD⊥平面PAC．…（6分）
解：（2）$\overrightarrow{PD}$=（0，2$\sqrt{2}$，-4），$\overrightarrow{AC}$=（（2，2$\sqrt{2}$，0），
设异面直线PD与AC所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{8}{\sqrt{24}•\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴异面直线PD与AC所成的角的余弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．