Question

已知a＞0，p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，q：实数x满足不等式lg（x-2）＜0．
（1）若a=1，p且q为真命题时，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先化简两个命题，
（1）p且q为真命题，求出两个命题同时成立的条件即可．
（2）p是q的必要不充分条件，即“2＜x＜3”时，“a＜x＜3a”成立，故可得

a≤2 3a≥3

，解之即得实数a的取值范围

解答：解：由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，
∵lg（x-2）＜0，∴2＜x＜3，
（1）当a=1时，1＜x＜3，即P为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3．
q为真时，实数x的取值范围是.2＜x＜3
若p且q为真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．
（2）因为p是q的必要不充分条件，
所以有

a≤2 3a≥3

所以实数a的取值范围是1≤a≤2．

点评：本题考查命题的真假判断与充分条件必要条件，求解本题的关键是正确求解两个不等式以及对p且q为真命题时与p是q的必要不充分条件时行正确转化，对问题的等价转化是把问题化繁为简的一个重要步骤．