Question

【题目】设

(1)求在[0,2]上的最值；

(2)如果对于任意的，都有成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 最小值为，最大值为1 (2) [1，+∞）

【解析】

（1）利用函数的导数，求得函数的单调区间，由此求得函数的最值.（2）将原不等式恒成立转化为来求解.由（1）求得的最大值为.将转化为，构造函数，利用导数求得的最大值，由此求得的取值范围.

(1)

由得，或；由得，，，

单调递减，在单调递增.

，

在上的最小值为，最大值为1

(2)对于任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥f(t)成立，等价于在[，2]上，函数f(x)ming(x)max.

由（1）可知在[，2]上，g(x)的最大值为g(2)=1.

在[，2]上，f(x)=+xlnx≥1恒成立等价于a≥x-x2lnx恒成立.

设h(x)=x-x2lnx，h′(x)=1-2xlnx-x，可知h′(x)在[，2]上是减函数，又h′(1)=0，

所以当1＜x＜2时，h′(x)＜0，当＜x＜1时，h′(x)＞0，

即函数h(x)=x-x2lnx在[，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，

所以h(x)max=h(1)=1，即实数a的取值范围是[1，+∞）.