Question

设y=f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：①f(－1)=f(1)=0；②对任意的u，v∈[－1，1]，都有．

(1)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x．

(2)证明：对任意的u，v∈[－1，1]，都有．

(3)在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)，且使得：

若存在，请举一例；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)证明：由题设条件可知，当：x∈[－1，1]时， 有． 即x－1≤f(x)≤1－x． (2)证明：对任意的u，v∈[－1，1]， 当时，有． 当时，有，不妨设u＜0，v＞0，且v－u＞1， 所以． 综上可知：对任意的u，v∈[－1，1]，都有． (3)解：满足所述条件的函数不存在． 理由如下：假设存在函数f(x)满足条件，则由|f(u)－f(v)|=|u－v|． u，，得． 又f(1)=0，所以． 又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0．由条件|f(u)－f(v)|＜|u－v|，u，，得．这与矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在．