Question

已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足.

(1)证明：点在上；
(2)设点关于点的对称点为，证明：、、、四点在同一圆上.

Answer 1

（1）见解析    （2）见解析

(1),的方程为,代入并化简得
.                  2分
设,
则

由题意得
所以点的坐标为.
经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 …6分
(2)由和题设知，，的垂直平分线的方程为
.                       ①
设的中点为,则,的垂直平分线的方程为
.                      ②
由①、②得、的交点为.         9分
,
,
,
,
,
故    ,
又     , ,
所以   ,
由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上.           2分
（2）法二： 

同理


所以互补，
因此A、P、B、Q四点在同一圆上。