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    设x＞0，求证：sinx+cosx＞1+x－x2.

    证明：设f（x）=sinx+cosx－1－x+x2，

    则f′（x）=cosx－sinx－1+2x，

    只要证f′（x）＞0.

    设g（x）=cosx－sin x－1+2x，

    g′（x）=－sinx－cosx+2=（1－sinx）+（1－cosx）.

    ∵sinx=1时cosx=0，cosx=1时sinx=0，

    ∴1－sinx与1－cosx不能同时为0.

    ∴g′（x）＞0.

    ∴g（x）当x＞0时是增函数.又g（x）在R上是连续函数且g（0）=0，

    ∴g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0.

    ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（0）=0.

    ∴x＞0时，sinx+cosx＞1+x－x2.

    点评：证明f′（x）＞0又引进函数g（x），这也是通过分析得到的证明思路.

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    		3x+1
    ＜
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    		3x+4
    ．

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