Question

已知椭圆w的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为

6

3

，△ABC的顶点A，B在椭圆w上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求椭圆w的方程；
（2）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（3）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设出椭圆方程，根据题意可得a，根据离心率可得c，进而求得b，椭圆方程可得．
（Ⅱ）根据AB∥l，且AB边通过点（0，0）进而可设AB所在直线的方程为y=x．设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．直线方程和椭圆方程联立求得x，进而求得|AB|，根据AB边上的高h等于原点到直线l的距离．求得三角形ABC的高，进而根据三角形面积公式可得答案．
（Ⅲ）设AB所在直线的方程为y=x+m，直线和椭圆方程联立消去y，根据判别式大于0求得m的范围，设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），进而根据韦达定理求得|AB|的表达式，根据BC的长等于点（0，m）到直线l的距离求得|BC|的表达式，最后根据勾股定理求得|AC|²的表达式，进而确定AC最大时m的值，直线方程可得．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a 2

+

y2

b2

=1，依题意可知a=2，

c

a

=

6

3

，∴b=

a2-c2

=

2 3

3

∴椭圆w的方程为x²+3y²=4．
（Ⅱ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x．
设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由

x2+3y2=4 y=x

得x=±1．
所以|AB|=

2

|x1-x2|=2

2

．
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．
所以h=

2

，S△ABC=

1

2

|AB|•h=2．
（Ⅲ）设AB所在直线的方程为y=x+m，
由

x2+3y2=4 y=x+m

得4x²+6mx+3m²-4=0．
因为A，B在椭圆上，
所以△=-12m²+64＞0．
设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1+x2=-

3m

2

，x1x2=

3m2-4

4

，
所以|AB|=

2

|x1-x2|=

32-6m2

2

．
又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=

|2-m|

2

．
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．
所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．考查了学生综合把握圆锥曲线知识和基本的运算能力．