Question

某隧道长2150m，通过隧道的车速不能超过20m/s．一列有55辆车身长都为10m的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为40m/s）匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤10时，相邻两车之间保持20m的距离；当10＜x≤20时，相邻两车之间保持(

1

6

x2+

1

3

x)m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为y（s）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．(

3

≈1.73)

Answer 1

分析：（1）由题目条件，利用对x进行分类讨论，求出离开隧道所用的时间为y；
（2）分别求分段函数中上下两个函数式子的最小值，综合它们中的较小者，即可得原函数的最小值，从而车队通过隧道时间y有最小值．

解答：解：（1）当0＜x≤10时，y=

2150+10×55+20×(55-1)

x

=

3780

x

，
当10＜x≤20时，y=

2150+10×55+( 1 6 x2+ 1 3 x)×(55-1)

x

=

2700

x

+9x+18，
所以，y=

3780 x (0＜x≤10) 2700 x +9x+18(10＜x≤20)

，
（2）当x∈（0，10]时，在x=10时，ymin=

3780

10

=378(s)，
当x∈（10，20]时，y=

2700

x

+9x+18≥18+2×

9x• 2700 x

=18+180

3

≈329.4（s），
当且仅当9x=

2700

x

，即：x≈17.3（m/s）时取等号．
因为17.3∈（10，20]，所以当x=17.3（m/s）时，y_min=329.4（s），
而378＞329.4，
所以，当车队的速度为17.3（m/s）时，车队通过隧道时间y有最小值329.4（s）．

点评：本题主要考查函数在实际生活中的应用、分段函数的表示法、分段函数最值的求法．