Question

P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，
（1）求证：平面A′B′C′∥平面ABC；   
（2）求S△A′B′C′：S△ABC．

Answer 1

分析：（1）利用重心的性质，以及面面平行的判定定理进行证明．
（2）根据平面的相交，以及相似三角形的面积之比等于对应边的平方比，转化为对应的边之比即可．

解答：证明：（1）如图，分别取AB，BC，CA的中点M，N，Q，
连接PM，PN，PQ，MN，NQ，QM，
∵A′，B′，C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，
∴A′，B′，C′分别在PN，PQ，PM上，
且PC′：PM=PA：PN=PB：PQ=2：3．
在△PMN中，

PC′

PM

=

PA′

PN

=

2

3

，
故C′A′∥MN，
又M，N为△ABC的边AB，BC的中点，MN∥AC，
∴A′C′∥AC，
∴A′C′∥平面ABC，
同理A′B′∥平面ABC，
∴平面ABC∥平面A′B′C′；
（2）由（1）知，

A′B′

QN

=

2

3

，

QN

AB

=

1

2

，
∴A′B′：AB=1：3．
∴S△A′B′C′：S△ABC=（A′B′）²：（AB）²=1：9．

点评：本题主要考查面面平行的判定，要证“面面平行”，只需要证明“线面平行”，即证“线线平行”，故问题最终转化为证线与线的平行．