Question

【题目】已知函数，若曲线（为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为__________.

Answer 1

【答案】

【解析】结合函数的解析式： 可得： ，

令y′=0，解得：x=0，

当x>0时，y′>0，当x<0，y′<0，

则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减，

则当x=0时，取最大值，最大值为e，

∴y0的取值范围（0，e]，

结合函数的解析式： 可得： ，

x∈（0，e），，

则f（x）在（0，e）单调递增，

下面证明f（y0）=y0．

假设f（y0）=c>y0，则f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不满足f（f（y0））=y0．

同理假设f（y0）=c<y0，则不满足f（f（y0））=y0．

综上可得：f（y0）=y0．

令函数．

设，求导，

当x∈（0，e），g′（x）>0，

g（x）在（0，e）单调递增，

当x=e时取最大值，最大值为，

当x→0时，a→-∞，

∴a的取值范围.