Question

已知点B_n（n，y_n），…（n∈N₊）是某直线l上的点，以B_n为圆心作圆．所作的圆与x轴交于A_n和A_n+1两点，记A_n、A_n+1的横坐标分别为x_n、x_n+1．其中x₁=a（0＜a≤1）
（1）证明：x_n+2-x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；
（2）若l的方程为y=

1

4

x+

1

12

，试问在△AnBnAn+1(n∈N+)中是否存在直角三角形，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△A_nB_nA_n+1构成以B_n（n，y_n）这顶点的等腰三角形，可得

xn+xn+1

2

=n，然后利用递推关系可得x_n+2-x_n是常数，最后讨论n的奇偶，可求出数列{x_n}的通项公式；
（2）先分别求出|A_nA_n+1|与|B_nC_n|，要使△A_nB_nA_n+1为直角三角形当且仅当|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|，然后建立方程解之即可．

解答：解：（1）因△A_nB_nA_n+1构成以B_n（n，y_n）这顶点的等腰三角形，
∴

xn+xn+1

2

=n即x_n+x_n+1=2n（n∈N₊）（1）
从而x_n+1+x_n+2=2（n+1）（2）
由（2）-（1）得，x_n+2-x_n=2，为常数．
显然x₁，x₃，x₅，…x_2n-1，…及x₂，x₄，x₆，…x_2n，…分别成等差数列．
∴x_2n-1=x₁+（n-1）×2=（2n-1）+a-1，x_2n=x₂+2（n-1）=（2-a）+2n-2，（n∈N₊）
∴xn=

n+a-1， n为奇数 n-a，      n为偶数

（2）当n为奇数时，A_n（n+a-1，0），A_n+1（n+1-a，0），∴|A_nA_n+1|=2（1-a）
当n为偶数时，A_n（n-a，0），A_n+1（n+a，0），∴|A_nA_n+1|=2a．
作B_nC_n⊥x轴于C_n，由于点B_n（n，y_n）在直线l上，
∴yn=

1

4

n+

1

12

即|BnCn|=

1

4

n+

1

12

．
要使△A_nB_nA_n+1为直角三角形当且仅当|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|，
∴当n为奇数时，有2(1-a)=2(

1

4

n+

1

12

)，即12a=11-3n，（※）
当n=1时，a=

2

3

，当n=3时，a=

1

6

，当n≥5时，方程（※）无解．
当n为偶数时，有12a=3n+1，同时可得a=

7

12

．
综上所述，当a=

2

3

或a=

1

6

或a=

7

12

，存在直角三角形．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及直角三角形的判定，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．