Question

已知平面区域（含边界，上半部分为半圆，下半部分为矩形）如图，动点A（x，y）在该平面区域内，已知A（-3，0），C（-1，-1）．
（1）求x+y的最大值和最小值；
（2）求的取值范围；
（3）求x²+y²-2x-2y+2的最大值和最小值．

Answer 1

解：由题意结合图象
（1）设x+y=b，故y=-x+b，字母b为斜率为-1的直线的截距，由图可知：
当直线（黑色）过点B（-3，-1）时，截距最小，即x+y取最小值-3+（-1）=-4，
当直线与半圆相切时，截距最大，即x+y取最大值，
由直线和圆相切可得圆心O′（-2，0）到直线x+y=b的距离=1，（圆的半径为1），
可解得b=-2+，或b=-2-（由图象可知不和题意，故舍去），
故求x+y的最大值和最小值分别为-2+，-4；
（2）设，则k表示可行域内动点P（x，y）与定点M（1，0）连线的斜率，…（5分）
由直线kx-y-k=0得，得，知，…（6分）
又，…（7分）
故；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…（8分）
（3）设t=x²+y²-2x-2y+2=（x-1）²+（y-1）²，表示可行域内的动点P（x，y）与定点N（1，1）距离的平方，
由距离公式可得|NO^′|==，故t_min==11-2，
由图可知点B到N的距离最大，|NB|==，故t_max=20　　　　　　　　　　…（12分）
分析：由图象分析，（1）x+y可转化为截距；（2）表示斜率（3）x²+y²-2x-2y+2=（x-1）²+（y-1）²，表示可行域内的动点P（x，y）与定点N（1，1）距离的平方，结合图形易得其最值．
点评：本题考查线性规划问题，利用几何意义来求解是解决问题的关键，属中档题．