Question

（2011•佛山二模）如图，已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正六边形、侧面全为正方形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，其侧棱长都为

13

．
（1）证明：DF₁⊥平面PA₁F₁；
（2）求异面直线DF₁与B₁C₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：AF⊥FF₁并且AF⊥DF，再根据线面垂直的判定定理可得：AF⊥平面DFF₁．即可得到A₁F₁⊥DF₁，再根据线段的长度关系形成直角三角形进而得到：DF₁⊥PF₁；再结合线面垂直的判定定理得到线面垂直．
（2）根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系，分别求出两条直线所在的向量，再结合向量之间的有关运算得到向量的夹角，进而转化为两条异面直线的夹角．

解答：解：（1）∵侧面全为矩形，∴AF⊥FF₁；
在正六边形ABCDEF中，AF⊥DF，…（1分）
又DF∩FF₁=F，∴AF⊥平面DFF₁；        …（2分）
∵AF∥A₁F₁，∴A₁F₁⊥平面DFF₁；
又DF₁?平面DFF₁，∴A₁F₁⊥DF₁；…（5分）
在△DFF₁中，FF₁=2，DF=2

3

，∴DF₁=4，
又PF1=PD1=

13

；
∴在平面PA₁ADD₁中，如图所示，PD=

52+22

=

29

，
∴DF₁²+PF₁²=PD²，故DF₁⊥PF₁；                        …（7分）
又A₁F₁∩PF₁=F₁，∴DF₁⊥平面PA₁F₁．             …（8分）
（2）以底面正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O，以OD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
所以D（0，2，0），B1(

3

，-1，2)，C1(

3

，1，2)，F1(-

3

，-1，2)，
∴

B1C1

=(0，2，0)，

DF1

=(-

3

，-3，2)，…（11分）
设异面直线DF₁与B₁C₁所成角为θ，则θ∈(0，

π

2

]，
∴cosθ=|cos＜

B1C1

，

DF1

＞|=|

B1C1 • DF1

| B1C1 |•| DF1 |

|=|

-6

2×4

|=

3

4

…（13分）
异面直线DF₁与B₁C₁
所成角的余弦值为

3

4

．                                  …（14分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，结合有关定理进行证明即可，并且也有利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离等问题．