Question

二次函数f（x）=ax²+bx+c图象顶点为C且过点A（0，2）、B（2，2），又△ABC的面积等于1．
（1）求满足条件的函数f（x）的解析式；
（2）当时a＞0，求函数g(x)=f(x)ex-

e

3

x3的极值；
（3）正项数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），且a₁=3，设T_n=a₁a₂a₃…a_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）先假设出函数f（x）的解析式，然后根据三角形的面积公式算出三角形的高求出点C的坐标代入可确定函数f（x）的解析式．
（2）将函数f（x）的解析式代入表示出函数g（x）的解析式，然后对函数g（x）进行求导，最后根据导函数的正负判断函数的单调性求出极值点．
（3）先通过验证数列前两项判断f（x）的解析式只能是f（x）=x²-2x+2，然后找到a_n+1与a_n的关系式a_n+1-1=（a_n-1）²，两边取对数后构成新的等比数列，进而可求出答案．

解答：解：
（1）依题意设f（x）=ax（x-2）+2，由S=

1

2

×2×h=1（h为AB边上的高）．
∴h=1，f（1）=1或3，∴a=±1
∴f（x）=x²-2x+2或f（x）=-x²+2x+2（或讨论a＞0与a＜0）．
或依题意c=2，4a+2b+c=2，∴b=-2a，

4ac-b2

4a

=1或3，其它同上

（2）当时a＞0，f（x）=x²-2x+2，∴g(x)=(x2-2x+2)ex-

e

3

x3，
∴g′（x）=x²e^x-ex²=x²（e^x-e），令g′（x）=0，得x=0，或x=1

∴x=0不是极值点，x=1是极值，
∴函数g（x）的极小值为g（1）=

1

2

e，极大值不存在．

（3）对于f（x）=-x²+2x+2，由a_n+1=f（a_n）及a₁=3，得a₂=-1，不符合题意，舍去，
只能f（x）=x²-2x+2，
∴a_n+1=a_n²-2a_n+2，a_n+1-a_n=a_n²-3a_n+2=a_n（a_n-3）+2＞0对a_n≥3恒成立，
a_n+1＞a_n＞…＞a₁=3
又a_n+1-1=（a_n-1）²，
∴lg（a_n+1-1）=2lg（a_n-1），l个（a₁-1）=lg2≠0
∴数列{lg（a_n-1）}首项为lg2，公比为2的等比数列，
∴lg（a_n-1）=2^n-1lg（a₁-1）
∴a_n=1+2^2n-1
∴a₁a₂a₃…a_n=（1+2）（1+2²）  …（1+2^2n-1）
=-（1-2）（1+2）（1+2²）…2^2n-1=2²ⁿ-1

为所求．
或=（1+2）（1+2²）  …（1+2^2n-1）=2²ⁿ-1

点评：本题主要考查用待定系数法求函数解析式和函数单调性、极值与导函数的关系以及等比数列求和的问题．一些数列并不是等比或等差数列，在求和时必须通过转化变为等比或等差再求．