Question

（2011•滨州一模）已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2

3

，f（C）=0，若向量

m

=（sinB，2）与向量

n

=（1，-sinA）垂直，求a，b的值．

Answer 1

分析：（I）根据二倍角公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，结合正弦函数的单调区间公式，即可得到函数f（x）的单调递减区间；
（II）根据（I）的解析式，结合三角形内角的取值范围解f（C）=0得C=

π

3

，由向量

m

⊥

n

解出sinB=2sinA，即b=2a，最后由由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，代入前面的数据即可解出a、b的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

（1+cos2x）-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1
=sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

-1=sin（2x-

π

6

）-1，…（4分）
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z）
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）…（6分）
（Ⅱ）因为f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，所以sin（2C-

π

6

）=1
又∵-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，∴2C-

π

6

=

π

2

，解之得C=

π

3

…（8分）
∵向量

m

=（sinB，2）与向量

n

=（1，-sinA）垂直，
∴sinB-2sinA=0，即sinB=2sinA…（9分）
根据正弦定理得b=2a，再由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
得12=a²+4a²-4a²cos

π

3

=3a²…（11分）
解之得a=2，所以b=2a=4．…（12分）

点评：本题给出三角函数表达式，求函数的单调区间，并依此求三角形ABC的边长．着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换和正余弦定理等知识，属于中档题．