Question

已知函数f（x）=

1+ln(x+1)

x

（1）求函数的定义域；
（2）确定函数f（x）在定义域上的单调性，并证明你的结论；
（3）当x＞0时，f（x）＞

k

x+1

恒成立，求正整数k的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据函数的解析式可得 x≠0，且 x+1＞0，由此求得函数的定义域．
（2）求出f′（x），分x＞0 以及0＞x＞-1两种情况，都可得到函数f′（x）＜0，从而得到函数f（x）在（0，+∞）、（-1，0）上是减函数．
（3）当x＞0时，f（x）＞

k

x+1

恒成立，令x=1可得，k＜2（1+ln2），再由k 为正整数，故k的最大值不大于3．k=3 时，即证当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
利用导数求出h（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x 的最小值等于3-e＞0，从而得到正整数k的最大值．

解答：解：（1）根据函数f（x）=

1+ln(x+1)

x

，可得 x≠0，且 x+1＞0，由此求得函数的定义域为 {x|x＞-1，且 x≠0}．
（2）f′（x）=

1

x2

[

x

x+1

-1-ln（x+1）]=-

1

x2

[-

x

x+1

+ln（x+1）+1]．
当 x＞0 时，1＞

x

x+1

＞0，ln（x+1）＞0，

1

x2

＞0，∴f′（x）=-

1

x2

[-

x

x+1

+ln（x+1）+1]＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．
当 0＞x＞-1 时，令g（x）=[

x

x+1

+ln（x+1）+1]，g′（x）=-

1

(x+1)2

+

1

x+1

=

x

(x+1)2

＜0，
故g（x）在（-1，0）上是减函数，故g（x）＞g（0）=1＞0，故 f′（x）=-

1

x2

[

x

x+1

+ln（x+1）+1]＜0，故函数f（x）在（-1，0）上是减函数．
 综上可得，函数f（x）在（0，+∞）、（-1，0）上是减函数．
（3）当x＞0时，f（x）＞

k

x+1

恒成立，令x=1可得，k＜2（1+ln2），再由k 为正整数，故k的最大值不大于3．
下面证明k=3 时，f（x）＞

k

x+1

 （x＞0）恒成立，即证当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．
令h（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x，则 h′（x）=ln（x+1）-1．
当 x＞e-1时，h′（x）＞0，当 0＜x＜e-1时，h′（x）＜0，故当 x=e-1时，h（x）取得最小值为 h（e-1）=3-e＞0．
故当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立，故k的最大值为3．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数函数的图象和性质的应用，属于中档题．