Question

如图所示，在多面体ABCD-EFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABG、平面ADF、平面CDE都与平面ABCD垂直，且△ABG、△ADF、△CDE都是正三角形．
（Ⅰ）求证：AC∥EF；
（Ⅱ）求四棱锥F-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据线面平行的性质或利用向量法证明AC∥EF；
（Ⅱ）求根据四棱锥的体积公式求四棱锥F-ABCD的体积．

解答：（Ⅰ） 证明：方法一，如图，分别取AD、CD的中点P、Q，连接FP，EQ．
∵△ADF和△CDE是为2的正三角形，
∴FP⊥AD，EQ⊥CD，且FP=EQ=

3

．
又∵平面ADF、平面CDE都与平面ABCD垂直，
∴FP⊥平面ABCD，EQ⊥平面ABCD
∴FP∥QE且FP=EQ，
∴四边形EQPF是平行四边形，
∴EF∥PQ．
∵PQ是△ACD的中位线，
∴PQ∥AC，
∴EF∥AC．
方法二，以A点作为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，过点A垂直于xoy平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示．
根据题意可得，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（1，2，

3

），
F（0，1，

3

），G（1，0，

3

）．
∴

AC

=（2，2，0），

FE

=（1，1，0），则

AC

=2

FE

，
∴

AC

∥

FE

，
即有AC∥FE．
（Ⅱ）∵AC∥FE，AC?面ABCD，EF?面ABCD，
∴EF∥面ABCD，
则E到底面面ABCD的距离，即为到底面面ABCD的距离，
∵平面CDE都与平面ABCD垂直，△CDE是正三角形，
∴△CDE的高即为四棱锥F-ABCD的高，
则四棱锥F-ABCD的高为

3

，
∴四棱锥F-ABCD的体积为

1

3

×2×2×

3

=

4 3

3

．

点评：本题主要考查空间几何体的体积公式和空间直线位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．