如图.某风景区准备美化以快直径为AB的半圆形空地.O为圆心.C为圆周上一点.CD⊥AB于D.已知AB为一假山壁.若以山壁为一边.△ACD内为一喷泉.△ACD外栽种花草.若AB=200米.∠CAB=θ.y=AC+CD．(1)试用θ表示y,(2)现一架飞机在风景区上空向半圆区域空投一怕水小物品.假设把物品看为质点.且物品落入半圆各点的机会相等.求当y取最大值时.物品落入花� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，某风景区准备美化以快直径为AB的半圆形空地，O为圆心，C为圆周上一点，CD⊥AB于D，已知AB为一假山壁，若以山壁为一边，△ACD内为一喷泉，△ACD外栽种花草，若AB=200米，∠CAB=θ，y=AC+CD．
（1）试用θ表示y；
（2）现一架飞机在风景区上空向半圆区域空投一怕水小物品，假设把物品看为质点，且物品落入半圆各点的机会相等，求当y取最大值时，物品落入花草地的概率．

考点：几何概型,函数解析式的求解及常用方法

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）连接CB，则AC⊥CB，求出AC=ABcosθ=100cosθ．然后求出函数的解析式．
（2）求出函数的导数，通过导数为0，求出θ=30°．通过当0°＜θ＜30°时，当30°＜θ＜90°时，判断函数的单调性，说明θ=30°时函数取得最大值，求解即可．

解答：

解：（1）连接CB，则AC⊥CB，
又AB=200，∠CAB=θ，∴AC=ABcosθ=100cosθ．
又CD⊥AB，∴CD=ACsinθ=100sinθcosθ．
∴y=200（1+sinθ）cosθ，（0＜θ＜

）．
（2）y′=[200（1+sinθ）cosθ]′=[200cosθ+50sin2θ]′=200（-sinθ+cos2θ）．
由y′=0得sinθ=

或sinθ=-1（舍去）．
∴θ=30°．
当0°＜θ＜30°时，y′＞0，则y在（0，30°）递增．
当30°＜θ＜90°时，y′＜0，则y在（30°，90°）递减．
∴当θ=30°时函数取得最大值y_max=200（1+sin30°）cos30°=150

．
∵AB=200，∴AC=100

，CD=50

，
∴S_△ACD=

×100

×50

=3750

，
∴当y取最大值时，物品落入花草地的概率1-

3750

20000π

=1-

16π

．

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的导数的应用，函数的最大值的求法，考查计算能力．

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