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已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)λ≠-1,若h(x)=g(x)-λf(x)+1在x∈[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
分析:(1)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),利用函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,可求得对称点之间的坐标关系,利用f(x)=x2+2x,可求函数g(x)的解析式;
(2)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1,其对称轴方程为x=
1-λ
1+λ
,利用h(x)=g(x)-λf(x)+1在x∈[-1,1]上是增函数,可求实数λ的取值范围.
解答:解:(1)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则
x0+x
2
=0
y0+y
2
=0
,即
x0=-x
y0=-y
(2分)
∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上
∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x,
故g(x)=-x2+2x(6分)
(2)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
其对称轴方程为x=
1-λ
1+λ

ⅰ)当λ<-1时,
1-λ
1+λ
≤-1,解得λ<-1
ⅱ)当λ>-1时,
1-λ
1+λ
≥1
,解得-1<λ≤0.(12分)
综上,λ≤0且λ≠-1(13分)
点评:本题以函数为载体,考查函数解析式的求解,考查函数的单调性,求解析式的关键是利用对称性,求得对称点坐标之间的关系
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1
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