Question

设P₁，P₂， ，P_j为集合P＝{1，2， ，i}的子集，其中i，j为正整数．记a_ij为满足P₁∩P₂∩ ∩P_j＝Æ的有序子集组(P₁，P₂， ，P_j)的个数．
（1）求a₂₂的值；
（2）求a_ij的表达式．

Answer 1

（1）a₂₂＝9；（2）a_ij＝(2^j 1)ⁱ

解析试题分析：（1）由题意得P₁，P₂为集合P＝{1，2}的子集，因为P₁∩P₂＝Æ，所以集合P＝{1，2}中的元素“1”共有1ÏP₁，且1Ï P₂；1ÎP₁，且1Ï P₂；1ÏP₁，且1ÎP₂，同理可得集合P＝{1，2}中的元素“2”也有3种情形，根据分步乘法原理得，a₂₂＝3×3＝9；（2）考虑P＝{1，2， ，i}中的元素“1”，然后分情况讨论解答.
试题解析：（1）由题意得P₁，P₂为集合P＝{1，2}的子集，
因为P₁∩P₂＝Æ，
所以集合P＝{1，2}中的元素“1”共有如下3种情形：
1ÏP₁，且1Ï P₂；1ÎP₁，且1Ï P₂；1ÏP₁，且1ÎP₂；
同理可得集合P＝{1，2}中的元素“2”也有3种情形，
根据分步乘法原理得，a₂₂＝3×3＝9；                           4分
（2）考虑P＝{1，2， ，i}中的元素“1”，有如下情形：
1不属于P₁，P₂， ，P_j中的任何一个，共C_j⁰种；
1只属于P₁，P₂， ，P_j中的某一个，共C_j¹种；
1只属于P₁，P₂， ，P_j中的某两个，共C_j²种；
1只属于P₁，P₂， ，P_j中的某(j 1)个，共C_j^{j 1}种，
根据分类加法原理得，元素“1”共有C_j⁰＋C_j¹＋C_j²＋ ＋C_j^{j 1}＝2^j 1种情形，    8分
同理可得，集合P＝{1，2， ，i}中其它任一元素均有(2^j 1)种情形，
根据分步乘法原理得，a_ij＝(2^j 1)ⁱ．                            10分
考点：分步计数原理、集合的运算、组合数的应用.