考点:绝对值不等式的解法
专题:不等式的解法及应用,推理和证明
分析:(Ⅰ)依题意,f(2x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3|=
| -3x-2,x<-3 | 4-x,-3≤x< | 3x+2,x≥ |
| |
,利用分段函数分段解不等式f(2x)+f(x+4)≥8,即可求得其解集.
(Ⅱ)|a|<1,|b|<1,
>f()?f(ab)>|a|f(
)?|ab-1|>|a-b|,要证该不等式成立,只需证明|ab-1|
2-|a-b|
2>0即可.
解答:
(Ⅰ)解:f(2x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3|=
| -3x-2,x<-3 | 4-x,-3≤x< | 3x+2,x≥ |
| |
,
当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤-
;
当-3
≤x<时,由-x+4≥8,解得x∈∅;
当x≥
时,由3x+2≥8,解得x≥2…4分
所以,不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤-
或x≥2}…5分;
(Ⅱ)证明:
>f()等价于f(ab)>|a|f(
),即|ab-1|>|a-b|,
因为|a|<1,|b|<1,
所以|ab-1|
2-|a-b|
2=(a
2b
2-2ab+1)-(a
2-2ab+b
2)=(a
2-1)(b
2-1)>0,
所以,|ab-1|>|a-b|,故所证不等式成立…10分.
点评:本题考查绝对值不等式的解法,着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用,考运算及推理、证明能力,属于中档题.