精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知抛物线x2=4y,过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点P1,又过点P1作斜率为
1
2
的直线交抛物线于点P2,再过P2作斜率为
1
4
的直线交抛物线于点P3,…,如此继续,一般地,过点Pn作斜率为
1
2n
的直线交抛物线于点Pn+1,设点Pn(xn,yn).
(Ⅰ)令bn=x2n+1-x2n-1,求证:数列{bn}是等比数列.
(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Sn,试比较
3
4
Sn+1
1
3n+10
的大小.
分析:(Ⅰ)把点Pn和Pn+1代入抛物线方程,进而可得xn2=4yn,xn+12=4yn+1,进而表示出直线的斜率代入后求得xn+1+xn=
1
2n-2
代入bn=x2n+1-x2n-1,求得
bn+1
bn
=
1
4
根据等比数列的定义推断出该数列为等比数列.
(Ⅱ)根据等比数列的求和公式求得Sn,进而可求得
3
4
Sn+1=
1
4n
,问题转化为比较4n与3n+10的大小,根据二项式定理求得4n>1+3n+  •
n(n-1)
2
32>1+3n+9=3n+10
,进而看n=1,2时也符合,最后综合原式得证.
解答:解:(Ⅰ)因为Pn(xn,yn)、Pn+1(xn+1,yn+1)在抛物线上,故xn2=4yn,①xn+12=4yn+1②,又因为直线PnPn+1的斜率为
1
2n
,即
yn+1-yn
xn+1-xn
=
1
2
,①②代入可得
1
4
x2n+1-x2n
xn+1-xn
=
1
2n
xn+1+xn=
1
2n-2

∴bn=x2n+1-x2n-1=(x2n+1+x2n)-(x2n+x2n-1)=
1
22n-2
-
1
22n-3
=-
1
22n-2

bn+1
bn
=
1
4
⇒{bn}
是以-1为首项,以
1
4
为公比的等比数列;
(Ⅱ)Sn=-
4
3
(1-
1
4n
)⇒
3
4
Sn+1=
1
4n
,故只要比较4n与3n+10的大小.
4n=(1+3)n=1+
C
1
n
•3+
C
2
n
32+…+
C
n
n
3n>1+3n+ 
n(n-1)
2
32>1+3n+9=3n+10(n≥3)

当n=1时,
3
4
Sn+1>
1
3n+10

当n=2时
3
4
Sn+1=
1
3n+10

当n≥3,n∈N*时,
3
4
Sn+1<
1
3n+10
点评:本题主要考查了等比关系的确定,不等式的应用,二项式定理,考查了学生综合分析问题的能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

15、已知抛物线x2=4y的焦点F和点A(-1,8),点P为抛物线上一点,则|PA|+|PF|的最小值为
9

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

13、已知抛物线x2=4y的焦点F和点A(-1,8),P为抛物线上一点,则|PA|+|PF|的最小值是
9

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线x2=4y上的点P(非原点)处的切线与x轴,y轴分别交于Q,R两点,F为焦点.
(Ⅰ)若
PQ
PR
,求λ.
(Ⅱ)若抛物线上的点A满足条件
PF
FA
,求△APR的面积最小值,并写出此时的切线方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•温州一模)如图,已知抛物线x2=4y,过抛物线上一点A(x1,y1)(不同于顶点)作抛物线的切线l,并交x轴于点C,在直线y=-1上任取一点H,过H作HD垂直x轴于D,并交l于点E,过H作直线HF垂直直线l,并交x轴于点F.
(I)求证:|OC|=|DF|;
(II)试判断直线EF与抛物线的位置关系并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•浙江模拟)已知抛物线x2=4y,圆C:x2+(y-2)2=4,M(x0,y0),(x0>0,y0>0)为抛物线上的动点.
(Ⅰ)若y0=4,求过点M的圆的切线方程;
(Ⅱ)若y0>4,求过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案