Question

（1）已知α，β∈(0，

π

2

)，且tanα•tanβ＜1，比较α+β与

π

2

的大小；
（2）试确定一个区间D，D⊆(-

π

2

，

π

2

)，对任意的α、β∈D，当α+β＜

π

2

时，恒有sinα＜cosβ；并说明理由．
说明：对于第（2）题，将根据写出区间D所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．

Answer 1

分析：（1）利用正切化为正弦、余弦，和角公式求出cos（α+β）＞0，根据α，β∈(0，

π

2

)，推出α+β与

π

2

的大小．
（2）直接在D⊆(-

π

2

，

π

2

)内找出一个子区间，区间是固定的，也可以是变化的，对任意的α、β∈D，当α+β＜

π

2

时，恒有sinα＜cosβ，利用函数的单调性，三角函数的符合特征，加以证明即可．

解答：解：（1）∵tanα•tanβ＜1，α，β∈(0，

π

2

)
∴

sinα•sinβ

cosα•cosβ

＜1=＞sinα•sinβ＜cosα•cosβ（2分）=＞cos（α+β）＞0（2分）
∵α+β∈（0，π）
∴α+β＜

π

2

（2分）
（2）第一类解答：（1）若取D=(-

π

2

，0)或取D=[-

π

3

，-

π

6

]等固定区间且D是(-

π

2

，0)的子集并说明理由者给（2分），
（2）若取D=[γ₁，γ₂]，-

π

2

＜γ1＜γ2＜0，并说明理由者给（3分）
理由：
若取D=(-

π

2

，0)，α+β＜

π

2

，
则-1＜sinα＜0，0＜cosβ＜1，即sinα＜cosβ；
第二类解答：（1）若取D=(0，

π

2

)或取D=[

π

6

，

π

3

]等固定区间且D是(0，

π

2

)的子集，且解答完整得（4分）
（2）若取D是(0，

π

2

)的子集且区间的一端是变动者．且解答完整得（5分）
（3）若取D=[γ₁，γ₂]，0＜γ1＜γ2＜

π

2

，且解答完整得（6分）
取D=[γ₁，γ₂]，0＜γ1＜γ2＜

π

2

证明如下，设α，β∈[γ₁，γ₂]，0＜γ1＜γ2＜

π

2

，
又α+β＜

π

2

，
则α＜

π

2

-β，
因为-γ₂≤-β≤γ₁，

π

2

-γ2≤

π

2

-β≤

π

2

-γ1，
而

π

2

-γ2＞0，

π

2

-γ1＜

π

2

，
即：

π

2

-β∈(0，

π

2

)，于是由α，β∈[γ₁，γ₂]，0＜γ1＜γ2＜

π

2

，且α＜

π

2

-β
以及正弦函数的单调性得：0＜sinα＜sin(

π

2

-β)，即：0＜sinα＜cosβ
第三类解答：
（1）若取D=(-

π

4

，

π

4

)或取D=[-

π

6

，

π

6

]等固定区间且D是(-

π

4

，

π

4

)的子集（两端需异号），且解答完整得（6分）
（2）若取D是(-

π

4

，

π

4

)的子集且区间的一端是变动者（两端需异号）．且解答完整得（7分）
（3）若取取D=[γ₁，γ₂]，-

π

4

＜γ1＜γ2＜

π

4

，（γ₁与γ₂需异号）且解答完整得（8分）
若取D=(-

π

4

，

π

4

)，
因为：-

π

4

＜α＜

π

4

，-

π

4

＜β＜

π

4

，
则-

π

4

＜-β＜

π

4

亦有：

π

4

＜

π

2

-β＜

3π

4

，
这时，-

2

2

＜sinα＜

2

2

，

2

2

＜sin(

π

2

-β)≤1，
而

2

2

＜sin(

π

2

-β)≤1为

2

2

＜cosβ≤1，
所以有sinα＜cosβ．
（如出现其它合理情况，可斟酌情形给分，但最高不超过8分）．

点评：本题考查比较大小，正弦函数的单调性，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．