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1.设函数f(x)=x-ln(x+1)+$\frac{a-1}{a}$.
(Ⅰ)若关于x的不等式f(x)≤0有实数解,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若m>n>0,求证:em-n-1>ln(m+1)-ln(n+1).

分析 (Ⅰ)问题转化为f(x)min≤0,求出函数的导数,得到函数的最小值,从而求出a的范围即可;
(Ⅱ)令a=1,则f(x)=x-ln(x+1),问题转化为证明em-n-1>m-n即可,记 g(x)=ex-x-1,(x>0),根据函数的单调性证明即可.

解答 解:(Ⅰ)关于x的不等式f(x)≤0有实数解,即f(x)min≤0…(1分)
∵$f'(x)=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$,(x>-1),由 f'(x)<0⇒-1<x<0
∴f(x)在(-1,0]递减,在[0,+∞)递增,$f{(x)_{min}}=f(0)=\frac{a-1}{a}$…(4分)
由 $\frac{a-1}{a}≤0$得 0<a≤1,∴a的取值范围为(0,1]…(5分)
(Ⅱ)令a=1,则f(x)=x-ln(x+1),由(Ⅰ)知f(x)在[0,+∞)递增,
∵m>n>0,∴f(m)>f(n)即 m-ln(m+1)>n-ln(n+1)…(7分)
∴m-n>ln(m+1)-ln(n+1),故要证原不等式,只要证:em-n-1>m-n…(9分)
记 g(x)=ex-x-1,(x>0),则 g'(x)=ex-1>0…(10分)
∴g(x)在(0,+∞)递增,∴g(x)>g(0)=0即 ex-1>x(x>0)
令x=m-n,则有:em-n-1>m-n,∴em-n-1>ln(m+1)-ln(n+1)…(12分)

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及不等式的证明,是一道中档题.

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