Question

已知△ABC的三角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a²+b²-

3

ab=4，c=2，则△ABC的面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形,不等式的解法及应用

分析：由已知及余弦定理可解得：cosC=

3

2

，从而可求sinC的值，由a²+b²≥2ab及已知可得2ab-

3

ab≤4，从而解得：ab≤

4

2- 3

=8+4

3

，即可根据三角形面积公式求得最大值．

解答： 解：∵a²+b²-

3

ab=4，c=2，
∴由余弦定理可得：4=a²+b²-2abcosC，
∴-

3

ab=-2abcosC从而解得：cosC=

3

2

，
∵0＜C＜π，
∴sinC=

1-cos2C

=

1

2

，
∵a²+b²≥2ab，
∴根据已知可得：2ab-

3

ab≤4，从而解得：ab≤

4

2- 3

=8+4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

4

ab≤

1

4

×（8+4

3

）=2+

3

．
故答案为：2+

3

．

点评：本题主要考察了余弦定理、同角三角函数关系式的应用，考察了不等式的解法及应用，属于中档题．