Question

已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题中正确的是
（1）若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；
（2）若m∥α，m∥β，则α∥β；
（3）若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
（4）若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．

1. A.
   （2）（3）
2. B.
   （1）（3）
3. C.
   （2）（4）
4. D.
   （3）（4）

Answer 1

D
分析：（1）若m⊥α，m⊥β，则α⊥β，可由垂直同一条直线的两个平面的关系判断；
（2）若m∥α，m∥β，则α∥β；可由面面平行的条件判断；
（3）若m⊥α，m∥β，则α⊥β；可由面面垂直的判断定理作出判断；
（4）若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直，可找出两异面直线的公垂线，利用一条直线与公垂线所成的平面与另一条异面直线垂直作出判断．
解答：（1）若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；此命题不正确，因为由m⊥α，m⊥β，可得出α∥β，故命题错误；
（2）若m∥α，m∥β，则α∥β；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行；
（3）若m⊥α，m∥β，则α⊥β；此命题正确，因为m∥β，则一定存在直线n在β，使得m∥n，又m⊥α可得出n⊥α，由面面垂直的判定定理知，α⊥β；
（4）若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直，此命题正确，因为两异面直线一定存在一条公垂线，此公垂线与一条线所成的平面一定与两条异面直线中的另一条垂直，故若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直是正确的
综上知③④是正确命题
故选D
点评：本题考查平面与平面之间的位置关系，空间中两个平面的位置关系主要有相交与平行，相交中比较重要的位置关系是两面垂直，解答本题，有着较好的空间立体感知能力，能对所给的模型找到恰当的实物背景作出判断是正确解答本题的关键，本题考查了利用基础理论作出推理判断的能力，是立体几何中的基本．．